Вы можете написать жалобу в военную прокуратуру на то, что военкомат не реагирует на ваши обращения.

Отказывать вам в выдаче загранпаспорта оснований нет. У сотрудников МВД нет полномочий вручать повестки.

Да, вам должны предоставить отсрочку 1 раз.

В новой компании вам нужно будет снова получать отсрочку, это возможно. Компания должна быть аккредитована.

Для отсрочки должно выполняться одно из двух требований:
- Вы устроились на работу в аккредитованную айти организацию не позднее чем через 1 год после окончания обучения в вузе или в научной организации.
- Ваш трудовой стаж на работе должен быть не менее 11 месяцев на начало очередного призыва. При этом вы должны работать не менее 40 часов в неделю, что должно быть указано в вашем трудовом договоре. Закон не дает однозначного ответа, должны ли вы получить стаж 11 месяцев именно в данной организации, но мы предполагаем, что вам придется получать стаж заново.

Мы советуем написать заявление с объяснением обстоятельств (с 10 лет проживаю заграницей и т.д.), к которому приложить заверенные копии документов, подтверждающих постоянное проживание заграницей. В заявлении просите не ставить на воинский учёт со ссылкой на абзац 6 пункт 1 статьи 8 Федерального закона "О воинской обязанности и военной службе" (постоянное проживание за пределами Российской Федерации).

1. Вручать вам повестку в военкомате законно, вы пришли туда сами. Перед отправкой на военные сборы вам должны провести медосвидетельствование
2. Больничный является уважительной причиной для неявки. Если же вы не явитесь после окончания больничного, возможен административный штраф от 500 до 3000р.
3. У вас есть право на отказ от военной службы по убеждениям совести. Это право распространяется и на военные сборы. Оно закреплено в Конституции России, и согласно нему гражданин, у которого имеются антивоенные, религиозные и иные убеждения, может заменить военную службу на альтернативную гражданскую. Вы можете потребовать не направлять вас на военные сборы, или заменить их исполнением гражданских обязанностей. К сожалению, если вы решитесь идти по этому пути, то свое право вам придется защищать в суде, но тем самым вы помешаете военкомату отправить вас на военные сборы. 
Или вы можете игнорировать повестки, рискуя получить административный штраф от 500 до 3000р.
Подробнее об отказе от военных сборов рассказывали здесь.

Да, сгорит. Вы можете рассмотреть перевод на другую специальность или академический отпуск.

Вы можете обжаловать решение призывной комиссии о присвоении категории А1 в вышестоящую призывную комиссию или в суд.

Чтобы приостановить действие решения призывной комиссии, призывнику нужно будет заявлять в суде ходатайство о применении мер предварительной защиты в виде приостановки оспариваемого решения призывной комиссии или о приостановке проведения призывных мероприятий.

Либо обжаловать сначала в вышестоящую (региональную) призывную комиссию, а в случае ее отказа, обжаловать этот отказ в суд. Если призывник обжалует в суде решение региональной призывной комиссии, то в этом случае это решение автоматически будет приостановлено до вступления решения суда в законную силу.

Если гражданин не стоит на воинском учете, то никакая отсрочка не могла ему оформляться. Отсрочка оформляется решением призывной комиссии. Если такого решения в отношении  гражданина для получения среднего профессионального образования не было, то он может воспользоваться отсрочкой на получение высшего образования.

Заявление о замене военной службы по призыву  альтернативной гражданской службой Вы можете подать только в тот военный комиссариат, в котором состоите на воинском учёте.

При снятии с воинского учёта и постановке на воинский учёт по новому месту жительства отсрочки не "сгорают".

Вы не написали шифр по Международной классификации болезней, но исходя из написанного диагноза, видимо, сын освидетельствуется по статье 14 Расписания болезней. Категория годности зависит от степени выраженности психических нарушений, скорее всего, выставят Д-не годен или В-ограниченно годен.

Для освобождения от военной службы по призыву достаточно одного из заболеваний, перечисленных в пункте "в" статьи 66 Расписания болезней. По указанным диагнозам Вы вправе претендовать на признание В-ограниченно годным. Только важно, чтобы диагнозы были выставлены в соответствии со стандартами диагностики конкретных заболеваний. Отдельные требования по выставлению диагнозов содержатся и в статье 66 Расписания болезней.

Медицинскую карту не должны выдавать на руки гражданину. В этом случае военный комиссариат должен был сам направить запрос в медицинские учреждения и получить от них документы.

Если вы медицинскую карту всё же получили, то в идеале в военный комиссариат не надо её отдавать, были прецеденты, когда из карты пропадали нужные заключения и диагнозы. Можно предоставить им копию карты и предъявлять оригинал только для сличения. Военный комиссар также может заверить копии медицинских документов для приобщения их к личному делу, тоже сличив с оригиналом.

Если всё же решите отдать мед.карту в военкомат, то отсканируйте/перефотографируйте её, пронумеруйте все страницы и сделайте оглавление с указанием заключений и страниц карты.

Напишите заявление о годности, см. в образцах:

https://netprizyvu.ru/formy-dokumentov

Можно принести и на комиссию, но лучше, когда у врачей есть возможность ознакомиться с ними заранее. Приобщать к личному делу мы рекомендуем заверенные копии медицинских документов, а оригиналы оставлять у себя.

После удаления желчного пузыря полагается категория В. Освидетельствование проходит по статье 59 расписания болезней.