Сделайте заверенные копии медицинских документов в той мед. организации, которая вам их выдала, чтобы оригиналы не потерялись в военкомате. Составьте в двух экземплярах заявление о приобщении документов к личному делу призывника с подробным перечнем приложений (образец). Подайте документы в приемную или канцелярию военкомата, на втором экземпляре заявления должны поставить отметку о принятии, он остается у вас как доказательство подачи. 

В связи с последними изменениями в законодательстве, процедура снятия с воинского учета и обязанность по снятию с воинского учета действительно исчезли из ФЗ «О воинской обязанности и военной службе» и Положения о воинском учете. Вместо этого введена новая обязанность - информирование военкомата о выезде за пределы РФ на срок более 6 месяцев. При этом все так же не подлежат воинскому учету граждане, постоянно проживающие за пределами Российской Федерации (ст. 8 ФЗ "О воинской обязанности и военной службе"). Таким образом, если вы выезжаете из РФ на срок более 6 месяцев, вам следует как минимум сообщить об этом в военкомат. Либо вовсе сняться с воинского учета. За несообщение указанной информации могут оштрафовать по статье 21.5 КоАП на сумму от 5 до 15 тысяч рублей.
При этом если вы только сообщили об отъезде, но не снялись с учета, вам могут присылать повестки. 

Военкомат действительно часто отказывает в снятии с учета. Отказ следует обжаловать в военную прокуратуру и в суд. Как это сделать сделать, рассказывали здесь. 

Получить отсрочку по учебе в аспирантуре можно только 1 раз. Если вы успели получить отсрочку в прежнем вузе, до 1 ноября 2023 года, то в новом вузе вы ее получить уже не можете и вас могут призвать в армию. Если отсрочку до 1.11.2023 вы не получали, то можете претендовать на нее сейчас. 

Если вы не уверены, была ли у вас отсрочка, чтобы узнать это, можно ознакомиться со своим личным делом призывника.